ContohSoal Vektor Satuan. 1. Diketahui sebuah vektor v di bidang R2, dengan nilai vektor v (6, 8). Tentukan besar vektor satuan dari vektor v tersebut! Jawab: Untuk menyelesaikan vektor satuan dari v kita dapat langsung menghitung dengan rumus vektor satuan pada bidang R2. Jadi vektor satuan v bernilai (3/5, 4/5). 2. Semuavektor berikut adalah sama (equivalent). Tentukan bentuk komponen vektor dari segmen garis berarah dengan titik awal, P(3,2,-2) dan titik akhir, Q(7,5,-3). terhadap arah vektor satuan dari vektor lainnya (v) ketika kedua vektor tersebut diletakan pada titik awal yang sama. Perkalian skalar dari dua vektor menghasilkan scalar. u. yangmeliputi proyeksi skalar dan proyeksi vektor ortogonal , carilah panjang proyeksi vektor a 4i 3j 2k pada garis yang membentuk sudut sudut sama dengan sumbu sumbu koordinat , dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika model soal vektor yang paling sering muncul adalah menentukan proyeksi vektor orthogonal cash. - Bagaimana cara menentukan resultan dan selisih suatu vektor? Berikut telah dirangkum dan dibahas dengan mudah sebagai berikut Dua buah vektor satu sama lain membentuk sudut 60°. Besar kedua vektor tersebut sama yakni 5 satuan. Tentukanlah resultan dan selisih kedua vektor! DiketahuiSudut yang dibentuk dari dua vektor θ = 60°Besar vektor F1 = 5Besar vektor F2 = 5 Ditanyakan Resultan F1+F2 dan selisih kedua vektor F1-F2Baca juga Contoh Soal Menghitung Resultan Vektor Penyelesaian Resultan vektor F1+F2 = √[F1² + F2² + 2F1F2 cosθ]F1+F2 = √[5² + 5² + 255 cos60]F1+F2 = √[25 + 25 + 501/2]F1+F2 = √[50+ 25]F1+F2 = √75F1+F2 = 5√3 Selisih vektor F1-F2 = √[F1² + F2² - 2F1F2 cosθ]F1-F2 = √[5² + 5² - 255 cos60]F1-F2 = √[25 + 25 - 501/2]F1-F2 = √[50- 25]F1-F2 = √25F1-F2 = 5 Sumber Fauziyyah] Editor [Rigel Raimarda] Dapatkan update berita pilihan dan breaking news setiap hari dari Mari bergabung di Grup Telegram " News Update", caranya klik link kemudian join. Anda harus install aplikasi Telegram terlebih dulu di ponsel. Vektor posisi dari titik dan adalah sebagai berikut. Vektor dapat ditentukan sebagai berikut. Panjang vektor dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan vektor satuan dari vektor adalah vektor . Dengan menerapkan rumus vektor satuan, diperoleh Jadi, vektor satuan dari vektor adalah . Blog Koma - Seperti yang telah kita bahas pada materi "pengertian vektor dan penulisannya", vektor memiliki besar panjangnya dan arah. Hal ini sangat berkaitan erat dengan materi kesamaan dua vektor yang akan kita bahas pada artikel kali ini yaitu materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris. Hal pertama yang akan kita bahas adalah pengertian kesamaan dua vektor, yang dilanjutkan dengan pembahasan vektor-vektor yang sejajar dan terakhir adalah titik-titik yang segaris kolinear. Untuk memudahkan mempelajari materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris, teman-teman harus menguasai beberapa materi vektor sebelumnya seperti "pengertian vektor", "panjang vektor" dan "vektor basis". Untuk sub-materi beberapa vektor yang sejajar dan sub-materi titik yang segaris kolinear sebenarnya memeiliki konsep yang sama yaitu menitikberatkan pada konsep kesejajaran pada vektor. Berikut penjelasan masing-masing secara lebih lengkap. Kesamaan Dua Vektor Pengertian kesamaan dua buah vektor atau lebih dapar kita tinjau dari dua hal yaitu $\spadesuit \, $ Secara Geometri Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor memiliki besar panjangnya dan arah yang sama. Misalkan vektor $ \vec{AB} $ sama dengan vektor $ \vec{CD} $ atau kita tulis $ \vec{AB} = \vec{CD} $ seperti ilustrasi berikut ini. $ \clubsuit \, $ Secara Aljabar Dua buah vektor dikatakan sama jika unsur-unsur yang bersesuaian besarnya sama nilainya sama. *. Vektor di R$^2 $ Misalkan $ \vec{a} = a_1, \, a_2 $ dan $ \vec{b} = b_1, \, b_2 $. Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $ dan $ a_2 = b_2 $ *. Vektor di R$^3$ Misalkan $ \vec{a} = a_1, \, a_2, \, a_3 $ dan $ \vec{b} = b_1, \, b_2, \, b_3 $. Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $, $ a_2 = b_2 $ dan $ a_3 = b_ 3 $ Catatan Secara Geometri, dua vektor meskipun tidak berimpit asalkan memiliki arah dan panjang yang sama, maka kita sebut kedua vektor tersebut sama. Contoh soal Kesamaan Dua Vektor 1. DIketahui titik $ A2,-1,1 $ , $ B1,0,3 $ , $ Cp, 1, 3 $ dan $ D-1, q, r $. Jika $ \vec{AB} = \vec{CD} $ , maka tentukan a. Koordinat titik C dan D , b. Nilai $ p + q + r $ Penyelesaian a. Koordinat titik C dan D , $ \begin{align} \vec{AB}& = \vec{CD} \\ B - A & = D - C \\ \left \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} -1 \\ q \\ r \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} p \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right \\ \left \begin{matrix} 1 - 2 \\ 0 - -1 \\ 3 - 1 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right \\ \left \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right \end{align} $ Dari kesamaan dua vektor, maka kita peroleh persamaan $ -1 = -1 - p \rightarrow p = 0 $ $ 1 = q - 1 \rightarrow q = 2 $ $ 2 = r - 3 \rightarrow r = 5 $ Sehingga koordinat titik C dan D adalah $ Cp,1,3 = 0,1,3 $ dan $ D-1,q,r = -1,2,5 $. b. Nilai $ p + q + r $ $ p + q + r = 0 + 2 + 5 = 7 $ Jadi, nilai $ p + q + r = 7 $. 2. Perhatikan gambar jajar genjang berikut ini, Dari gambar tersebut, tentukan a. Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ , b. Koordinat titik S. Penyelesaian a. Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ , *. Panjang vektor $ \vec{SR} $ , Perhatikan gambar, karena PQRS adalah jajar genjang, maka panjang SR = panjang PQ. Dilain pihak, vektor $ \vec{SR} $ memiliki arah yang sama dengan vektor $ \vec{PQ} $ , sehingga vektor $ \vec{SR} = \vec{PQ} $. Panjang vektor $ \vec{SR} $ sama dengan panjang vektor $ \vec{PQ} $. $ \vec{SR} = \vec{PQ} = \sqrt{3-1^2+1-2^2+-2-0^2} $ $ = \sqrt{4 + 9 + 4} =\sqrt{17} $ *. Panjang vektor $ \vec{PS} $ , Dengan alasan yang sama seperti vektor $ \vec{SR} $, maka $ \vec{PS} = \vec{QR} $ , $ \vec{PS} = \vec{QR} = \sqrt{5-3^2+7-1^2+1-2^2} $ $ = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 $ b. Koordinat titik S. Pada bagian a di atas, kita peroleh $ \vec{SR} = \vec{PQ} $ dan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, sehingga koordinat titik S bisa kita tentukan $ \begin{align} \vec{SR} & = \vec{PQ} \\ R - S & = Q - P \\ S & = R - Q + P \\ & = \left \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right + \left \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} 5- 3 + 1 \\ 7 - 1 + -2 \\ 1 - -2 + 0 \end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right \end{align} $ Jadi, koordinat titik S adalah $ S3, 4, 3 $. Kita juga bisa menggunakan kesamaan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, juga memberikan hasil yang sama yaitu koordinat titik S adalah $ S3, 4, 3 $. 3. Diketahui vektor $ \vec{u} = \left \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right $ dan $ \vec{v} = \left \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right $. Jika $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka tentukan a. Nilai $ m - n $! b. vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ c. nilai $ \vec{u} + \vec{v} $ d. nilai $ \vec{u} + \vec{v} $ Penyelesaian a. Nilai $ m - n $! $ \begin{align} \vec{u} & = \vec{v} \\ \left \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right \end{align} $ terbentuk persamaan $ \frac{1}{2}m - 1 = -2 \rightarrow \frac{1}{2}m = -1 \rightarrow m = -2 $ $ -5 = 3 - 2n \rightarrow 2n = 8 \rightarrow n = 4 $. Sehingga nilai $ m - n = -2 - 4 = -6 $ b. vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka kita gunakan salah satu saja. $ \vec{u} = \vec{v} = \left \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right = \left \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right $ c. nilai $ \vec{u} + \vec{v} $ Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka panjang kedua vektor juga sama yaitu $\vec{u} + \vec{v} = 2\vec{u}=2\sqrt{-2^2 + -5^2} = 2\sqrt{4 + 25} = 2\sqrt{29} $. d. nilai $ \vec{u} + \vec{v} $ Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka $ \vec{u} + \vec{v} = 2\vec{u} = 2 \left \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right = \left \begin{matrix} -4 \\ -10 \end{matrix} \right $ Sehingga $ \begin{align} \vec{u} + \vec{v} & = \sqrt{-4^2 + -10^2} \\ & = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \\ & = \sqrt{4 \times 29} = 2\sqrt{29} \end{align} $ Jadi, panjang $ \vec{u} + \vec{v} = 2\sqrt{29} $. Vektor-vektor yang sejajar Dua vektor atau lebih sejajar memiliki kemiringan vektor yang sama yaitu searah atau berlawanan arah antara vektor-vektor tersebut dimana panjang-panjang vektornya tidak harus sama. Dengan kata lain, jika dua vektor sejajar maka salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Perhatikan ilustrasi berikut ini. $ \spadesuit \, $ Definisi dua vektor sejajar Vektor $ \vec{p} $ sejajar vektor $ \vec{q} $ ditulis $ \vec{p} // \vec{q} $ apabila $ \vec{p} = k\vec{q} \, $ , dengan $ k $ skalar , $ k \in R $. $ k $ kita sebut sebagai pengali atau kelipatan vektor yang lainnya. Ada beberapa kemungkinan nilai $ k $ 1. Jika $ k > 0 $ , maka $ \vec{p} $ searah dengan $ \vec{q} $ , 2. Jika $ k 0 $. *. Menentukan nilai $ x $ dengan syarat $ k > 0 $ dan menyelesaikan pertidaksamaannya. $ \begin{align} k & > 0 \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ x + 3x - 5 & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $ Garis bilangannya Solusinya $ x 5 $. Jadi, kedua vektor akan searah jika nilai $ x $ memenuhi $ x 5 $. c. Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor berlawan arah Untuk solusi bagian c ini adalah kebalikan dari solusi bagian b yaitu syarat berlawanan arah adalah $ k < 0 $. Jadi, kedua vektor akan berlawanan arah jika nilai $ x $ memenuhi $ -3 < x < 5 $. Titik-titik yang segaris Kolinear Jika diketahui beberapa titik segaris lebih dari dua titik, maka dapat kita buat vektor dari masing-masing dua titik yang segaris kolinear juga. Karena vektor-vektor yang terbentuk segaris, maka otomatis semua vektor yang terbentuk adalah sejajar, sehingga langkah selanjutnya bisa kita terapkan konsep vektor-vektor yang sejajar seperti teori di atas sebelumnya. Misalkan terdapat titik A, B, dan C segaris, maka bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BA} $ , $ \vec{AC} $, $ \vec{CA} $ , $ \vec{BC} $ dan $ \vec{CB} $ yang segaris juga mengakibatkan sejajar dimana salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Artinya dapat juga kita tulis $ \vec{AB} = k\vec{BC} $ atau $ \vec{AB} = n\vec{AC} $ dan lainnya asalkan vektornya melibatkan lebih dari dua titik. Contoh soal beberapa titik segaris kolinear 10. Diketahui tiga titik yaitu $ A -3,-8,-3 $ , $ B1, -2, -1 $ dan $ C3,1,0 $. Coba selidiki, apakah titik A, B, dan C terletak pada satu garis segaris/kolinear? Pembahasan *. Untuk menentukan segaris atau tidak, cukup kita bentuk dua vektor dari titik-titik yang ada dan kita cek apakah salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lain, jika ya maka ketiga titik segaris dan berlaku sebaliknya. *. Misal kita bentu vektor $ \vec{AB} = B - A = 1 - -3, -2 - -8, -1-3 = 4, 6, 2 $ $ \vec{BC} = C - B = 3 - 1, 1 - -2 , 0 - -1 = 2, 3, 1 $ *. Terlihat bahwa $ \vec{AB} $ kelipatan dari vektor $ \vec{BC} $ yaitu $ \vec{AB} = 2\vec{BC} $. Artinya dapa kita simpulkan bahwa ketiga titik A, B, dan C segaris kolinear. 11. Agar titik $ A2,y,-8 $ , $ Bx, 3y,-2 $ , dan $ C 5, 4y, z $ terletak pada satu garis lurus, maka nilai $ x + z = ....$ ! Penyelesaian *. Agar ketiga titik segariskolinear , maka dua vektor yang terbentuk dari ketiga titik tersebut harus saling berkelipatan. Misalkan kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ dan vektor $ \vec{BC} $, kita peroleh hubungan $ \begin{align} \vec{AB} & = k \vec{BC} \\ B - A & = k C - B \\ \left \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} 2 \\ y \\ -8 \end{matrix} \right & = k \left[ \left \begin{matrix} 5 \\ 4y \\ z \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right \right] \\ \left \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right & = k \left \begin{matrix} 5 - x \\ y \\ z + 2 \end{matrix} \right \\ \left \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} 5 - xk \\ ky \\ z + 2k \end{matrix} \right \end{align} $ Dari kesamaan dua vektor kita peroleh $ 2y = ky \rightarrow k = 2 $ $ x - 2 = 5 - xk \rightarrow x - 2 = 5 - x.2 \rightarrow x = 4 $ $ 6 = z + 2k \rightarrow 6 = z + 2. 2 \rightarrow z = 1 $ Sehingga nilai $ x + z = 4 + 1 = 5 $. Jadi, nilai $ x + z = 5 $. Demikian pembahasan materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor".

tentukan vektor yang sama dari vektor vektor berikut